Методы триангуляции, прямые методы - трехмерная триангуляция. Триангуляционные сети Виды триангуляции

Триангуляция Лингвистам часто бывает необходимо восстановить историю языков. В тех случаях, когда сохранились письменные источники, это довольно просто. Специалист по исторической лингвистике может использовать второй из методов реконструкции, изучая “биографию”

«Триангуляция желания» 1890–х гг

«Триангуляция желания» 1890–х гг На протяжении 1890–х гг. Гиппиус сочетала девственный брак с многочисленными пересекающимися любовными треугольниками. Ее «связи» с мужчинами вне брака, очевидно, тоже не включали соития и были «фиктивными», как и ее брак. Несмотря на

Координаты (в геодезии)

Космическая триангуляция

Прямоугольные координаты (в геодезии)

Характерной и главной особенностью рассматриваемого периода развития геодезии были геодезические сети . Геодезическая сеть - это совокупность закрепленных на местности точек с определенными координатами . Они создавались в целях: 1) решения главной научной задачи – определение фигуры Земли и ее гравитационного поля ; 2)картографирования страны; 3)решения задач прикладной геодезии. Основным методом построения геодезических сетей стал появившийся в 16в. метод триангуляции , хотя этот метод был известен еще в глубокой древности (греческий математик Фалес использовал его для определения расстояния до корабля). Этот метод заключается в построении на местности треугольников, в которых измерялись углы и одна сторона. Вершины треугольников закрепляли специальными знаками. С начала это были одиночные треугольники , затем стали строить цепочки их и сплошные сети с измерением в них одного или нескольких базисов (сторон) и всех углов . Первое упоминание о методе триангуляции сделал Гемма Фризиус в 1546г. Он при реализации этого метода на большой территории применял прибор планиметр – модифицированную упрощенную астролябию с компасом, которая устанавливалась горизонтально на вертикальную подставку. Этот метод использовал Мартин Вальдземюллер, применив разработанный им в 1513г. прибор полиметрум, которым можно было измерять горизонтальные или вертикальные углы . Это был прототип современноготеодолита . Известный картограф Герард Меркатор (1512-1594), ученик Геммы Фризиуса, был одним из первых применивших метод триангуляции при съемках для получения точных карт территории Голландии в 1540г. Англичанин Кристофер Сакстон в течение 9 лет выполнял съемки Уэльса, в которых использовал триангуляционный метод Фризиуса. В 1596г. Раттикус издал труд по основам триангуляции. Итак, начало применения триангуляционного метода при съемках относится к первой половине 16в., а первым инструментом была приспособленная для этих целей астролябия. Разработкой, применением и совершенствованием метода занимались преимущественно математики, геометры, работавшие в университетах.

В 17в. наступил второй этап в формировании метода триангуляции и реализации его в трех направлениях: 1) как строго научной основы топографических съемок, 2) как средства распространения единой системы координат на территории страны, 3) как главного метода определения формы и размеров Земли. Распространению этого метода в 17в. способствовало внедрение и освоение в геодезии тригонометрии и логарифмов , изобретенных Непером в 1614г.

Вильгельм Шикхарт, на основе своего опыта по созданию опорной геодезической сети для топографической съемки Вюртенберга, в 1629г. опубликовал первый геодезический учебник на немецком языке «Краткое руководство по искусству съемки земель».

Примером всех 3-х направлений являются работы 4-х поколений геодезистов Кассини (Жан, Жак, Цезарь) во Франции, решивших с помощью построения сплошной сети триангуляции три главные задачи – создание точной карты Франции, распространение единой системы координат и получение размера Земли. Голландский математик Виллеброрд Снеллиус (1591-1626) проложил в 1615-1616гг. ряд триангуляции для решения задачи 3-го направления. В России считают Снеллиуса автором этого метода. Француз Жан Пикар (1620-1682) в 1669-1670гг., используя ряд триангуляции определил длину дуги парижского меридиана в один градус, равную 111,212км. (современная величина 111,18км).

Для определения высоты объекта и решения других задач применяли различные комбинации реек, например, описанную Леонардо да Винчи.

Астролябия в эту эпоху стала важнейшим прибором в навигации и геодезии. Для применения в практической геометрии астролябия была реконструирована в горизонтальное положение, в нее встроили компас, изменили и оформление. Круг астролябии имел 360 делений и каждое из них делили еще на 10 частей. Наименьшее деление круга равнялось 6’.

Для измерения углов кроме астролябии применяли квадрат и квадрант. Геометрический квадрат был модифицирован - в него включалась дуга квадранта. Квадранты в этот период были наиболее важными астрономическими инструментами. Их стали строить больших размеров и стационарного и меридианного типов. Европейцы упростили квадрант, встроили в него компас. Квадрант применялся главным образом для измерения вертикальных углов при определении превышений методом тригонометрического нивелирования, а также для определения времени по наблюдениям высот небесных светил. Для повышения точности отсчитывания долей деления на квадранте Педро Нониус (1492-1577) предложил специальное устройство – нониус . В дальнейшем нониус был преобразован П. Верньером в отсчетное устройство (описано в 1631г.) и стало называться верньер. Точность отсчитывания по верньеру возросла на порядок.

Методы триангуляции

Все методы триангуляции по принципу построения можно разбить на две большие группы: прямые методы и итерационные методы (рисунок 2.5). В прямых методах сетка строится за один этап, причем ее топология (иначе говоря, граф связей между узлами) и координаты всех узлов известны изначально. В итерационных методах сетка строится последовательно; на каждом шаге добавляется один или несколько элементов, причем изначально не известны ни координаты узлов, ни топология сетки. Кроме того, координаты узлов и топология могут меняться прямо в процессе построения .

Сетки, построенные с помощью прямых методов, могут быть использованы и в итерационных методах. В первую очередь это касается методов граничной коррекции . Размещение узлов в методах на основе критерия Делоне нередко осуществляется с помощью одного из прямых алгоритмов (с последующей коррекцией) .

Рисунок 2.5 - Классификация методов дискретизации

Прямые методы

Главными преимуществами прямых методов являются высокая скорость работы, надежность и простота реализации; основным недостатком - ограниченная область применения. Фактически, эффективно использовать прямые методы можно только для триангуляции самых простых областей - шара, параллелепипеда, цилиндра и т.п. Впрочем, нередко такие области являются частью некоторых сложных областей, и использование прямых методов вместо итерационных в этом случае позволяет существенно экономить машинные ресурсы и время .

Рассмотрим, например, так называемую "кубическую сетку" (рисунок 2.6), то есть сетку, полученную разбиением исходного параллелепипеда на равные "кубы". Если размеры куба - hx, hy, hz, и он ориентирован по осям координат, то узел с индексами i,j,k имеет координаты (Ox + i*hx, Oy + j*hy, Oz + k*hz), а его соседями являются узлы с индексами (i ± 1, i, k), (i, j ± 1, k) и (i, j, k ± 1).

Рисунок 2.6 - Кубическая сетка

Методы на основе шаблонов

Шаблоном называют некий принцип размещения узлов и установки связей между ними. Каждый шаблон применим только к областям заданного вида. Благодаря такой узкой специализации, сетки, построенные на шаблонах, часто могут быть высокого качества .

Самая простая для триангуляции и в то же время довольно часто встречающая область - это параллелепипед (рисунок 2.7). Для нее предложено несколько различных шаблонов, и все они базируются на описанной выше кубической сетке.

Рисунок 2.7 - Разбиение куба на шесть (слева) и пять (справа) тетраэдров

Также существуют другие шаблоны, обладающие лучшими показателями за счет введения дополнительных узлов, каждый из которых соединяется с вершинами куба (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 - Вставка внутрь кубической сетки дополнительных вершин; справа отдельно изображен получающийся в результате ромбовидный элемент

Каждый из этих дополнительных узлов соединяется ребрами с вершинами куба, в результате чего исходный параллелепипед разбивается на два типа элементов:

1) граничные - в виде четырехугольной пирамиды (т.е. пирамиды, основанием которой является квадрат);

2) внутренние - в виде объемного ромба, составленного из двух четырехугольных пирамид, соединенных основаниями.

Чтобы разбить граничные пирамидальные элементы, достаточно вставить диагональное ребро (причем произвольно ориентированное); при этом получаются два одинаковых тетраэдра с АХ порядка 0.5 .

Разбить внутренние ромбовидные элементы можно уже несколькими различными способами, и именно выбранным вариантом различаются между собой 2 вида шаблонов:

1) Шаблон 1 - вставка диагонального ребра между узлами кубической сетки (рисунок 2.10):

2) Шаблон 2 - вставка ребра между дополнительными узлами (рисунок 2.6):

Триангуляцию цилиндра разумнее всего проводить путем разбиения его на слои (рисунок 2.11).

Рисунок 2.11 - Построение призматической сетки в цилиндре

Рисунок 2.12 - Вставка в призматическую сетку дополнительных узлов

Методы отображения

Методы отображения основаны на возможности построения взаимно-однозначного отображения между областями различной геометрической формы. Таким образом, используя оператор отображения, можно перенести сетку из некоторой (более простой) области на заданную.

Существенным недостатком этих методов является неизбежное ухудшение качества сетки из-за геометрических искажений, возникающих при отображении. Вместе с тем даже достаточно сложные операции отображения требуют сравнительно небольших затрат ресурсов, ведь при отображении меняются только координаты узлов, связи остаются неизменными .

Как правило, для отображения используются два типа преобразований - "простейшие" аффинные (линейные), позволяющие только растягивать/сжимать сетку и более универсальные изопараметрические, позволяющие отображать сетки даже в криволинейные области (рисунок 2.13).

Рисунок 2.13 - Виды преобразований

Аффинным называется линейное преобразование координат:

В методах триангуляции аффинные преобразования, как правило, играют лишь незначительную вспомогательную роль.

Большее значение имеют изопараметрические преобразования. Заметим, что они нашли широкое применение не только в методах отображения, но и при решении задач на основе криволинейных элементов .

Сущность изопараметрического преобразования заключается в следующем: задается некая система внутренних координат (называемых "барицентрическими"), которая однозначным образом связывает положение любой точки данной геометрической формы (треугольник, квадрат, тетраэдр и т.д.) с определенным множеством базисных точек, также принадлежащих данной геометрической форме (в качестве таких точек обычно выбираются углы, середины сторон и т.п.). Таким образом, изменив положение базисных точек, можно легко определить и новое положение всех остальных точек, используя их барицентрические координаты .

Для каждой точки x=(x 1 ,x 2) невырожденного треугольника с вершинами б 1 ,б 2 ,б 3 (вершина б i имеет координаты (б i1 , б i2)), барицентрические координаты л 1 , л 2 , л 3 вводятся как решение системы:

Барицентрические координаты легко определяются через отношения площадей треугольников (рисунок 2.14):

Рисунок 2.14 - Барицентрические координаты

Подводя итог, заметим, что указанный метод без каких-либо особенностей переносится на случай трех измерений.

Основными методами создания государственной геодезической сети являются триангуляция, трилатерация, полигонометрия и спутниковые координатные определения.

Триангуляция (рис. 68, а) представляет собой цепь прилегающих друг к другу треугольников, в каждом из которых измеряют высокоточными теодолитами все углы. Кроме того, измеряю длины сторон в начале и конце цепи.

Рис. 68. Схема триангуляции (а) и полигонометрии (б).

В сети триангуляции известными являются базис L и координаты пунктов А и В. Для определения координат остальных пунктов сети измеряют в треугольниках горизонтальные углы.

Триангуляция делится на классы 1, 2, 3, 4. Треугольники разных классов различаются длинами сторон и точностью измерения углов и базисов.

Развитие сетей триангуляции выполняется с соблюдением основного принципа «от общего к частному», т.е. сначала строится триангуляция 1 класса, а затем последовательно 2, 3 и 4 классов.

Пункты государственной геодезической сети закрепляются на местности центрами. Для обеспечения взаимной видимости между пунктами над центрами устанавливают геодезические знаки деревянные или металлические. Они имеют приспособление для установки прибора, платформу для наблюдателя и визирное устройство.

В зависимости от конструкции, наземные геодезические знаки подразделяются на пирамиды и простые и сложные сигналы.

Типы подземных центров устанавливаются в зависимости от физико-географических условий региона, состава грунта и глубины сезонного промерзания грунта. Например, центр пункта государственной геодезической сети 1-4 классов типа 1 согласно инструкции «Центры и реперы государственной геодезической сети» (М., Недра, 1973) предназначен для южной зоны сезонного промерзания грунтов. Он состоит из железобетонного пилона сечением 16Х16 см (или асбоцементной трубы 14-16 см, заполненной бетоном) и бетонного якоря. Пилон цементируется в якорь. Основание центра должно располагаться ниже глубины сезонного промерзания грунта не менее 0,5 м и не менее 1,3 м от поверхности земли. В верхней части знака на уровне поверхности земли бетонируется чугунная марка. Над маркой в радиусе 0,5 м насыпается грунт слоем 10-15 см. В 1,5м от центра устанавливается опознавательный столб с охранной плитой.

В настоящее время широко используют радиотехнические средства для определения расстояний между пунктами сети с относительными ошибками 1:100 000 – 1:1 000 000. Это дает возможность строить геодезические сети методом трилатерации , при которой в сетях треугольников производится только измерение сторон. Величины углов вычисляют тригонометрическим способом.

Метод полигонометрии (рис. 68, б) состоит в том, что опорные геодезические пункты связывают между собой ходами, называемыми полигонометрическими. В них измеряют расстояния и справа лежащие углы.

Спутниковые методы создания геодезических сетей подразделяются на геометрические и динамические. В геометрическом методе искусственный спутник Земли используют как высокую визирную цель, в динамическом – ИСЗ является носителем координат.