Амплитудный и фазовый спектры периодической функции. Спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов

Всякий периодический сигнал воздействия f(t) – может быть представлен бесконечной суммой синусоид кратных частот – рядом Фурье:

,
(12)

Периодическая функция времени обладает свойством повторения формы через минимальный промежуток времени T, называемый периодом функции:

.

Период определяет частоту основной гармоники бесконечной суммы, которой кратны все слагаемые:

.

Коэффициенты ряда (12) определяются по формулам Фурье:

(13)

Объединение синуса и косинуса одной частоты в выражение (12) дает другую форму ряда Фурье:

(14)

где
,
.

В теории цепей удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье:

(15)

здесь комплексная амплитуда к-й гармоник

;

, (16)

где

С учетом выражений (14) и (15) можно получить выражение (17):

(17)

Вещественность
означает, что ряд состоит только из косинусных гармоник, а функция времени является четной.

Амплитудный спектр:

, (18)

число гармоник на интервале между двумя узлами равно отношению
, называемого скважностью импульсов.

На вход ARC - фильтра будем действовать периодическим сигналом прямоугольной формы, имеющего следующие характеристики:

Скважность: S = 3

Амплитуда, В: U = 8

Порядок Фурье: n = 4

Будем исследовать реакцию фильтр при воздействие на него сигнала частотой лежащей в полосе пропускания. Для этого выберем частоту сигнала воздействия
, где
- резонансная частота данного фильтра. Отсюда частота сигнала воздействия
Гц.

1.Суммирование функций и построение графика суммы.

Рассмотрим разложение в усеченный ряд Фурье периодической последовательности импульсов со скважностью s и числом слагаемых N:

Для построения графика суммы воспользуемся компьютерной программой MathCAD:

2.Амплитудный спектр воздействия.

3.Фазный спектр воздействия.

. Рассчитаем амплитудный и фазный спектры реакции:

В пункте 1.3 были получены амплитудный и фазовый спектры сигнала воздействия. Определим, какова будет реакция исследуемого ARC – фильтра, если на его вход воздействовать периодическим сигналом (см. п.п. 1.3).

1. Амплитудный спектр реакции:

Рис. 6 График амплитудного спектра реакции.

Из графика видно, что при k=2 наблюдается максимальная пропускная способность фильтра. Это обусловлено тем, что   к где   частота основной гармоники.

2. Фазный спектр реакции:

Рис. 8 Фазный спектр реакции.

1.5. Построим график функции времени реакции цепи на заданное воздействие:

По амплитудному и фазному спектрам (см. п.п. 1.3) можно построить соответствующую им функцию времени по формулам (14).

Для построения графика функции времени воспользуемся компьютерной программой MathCAD:

Рис.9. График функции времени.

На Рис. 9 представлены графики сигналов воздействия () и реакции () ARC – фильтра.

1.6. Рассчитаем и построим графики амплитудного и фазного спектров воздействия и реакции, а также временные функции воздействия и реакции с периодом в два раза больше.

В п.п. 1.3. – 1.4 мы исследовали реакцию фильтра при воздействие на него периодическим сигналом, частотой
, где- резонансная частота данногоARC - фильтра. По условию данного пункта примем частоту сигнала воздействия
.

График суммы:

Рис. 10. График суммы.

Амплитудный спектр воздействия.

Рис. 4 Амплитудный спектр воздействия.

Амплитудный спектр реакции имеет следующий вид:

Рис. 11Амплитудный спектр реакции.

Фазный спектр воздействия.

Рис. 5 Фазный спектр воздействия.

Фазный спектр реакции имеет следующий вид:

Рис. 12 Фазный спектр реакции

Временные функции:

Рис.13 График функции времени.

Спектральное представление сигналов

Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.

Спектр сигнала - это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.

Различают два вида спектральных диаграмм: - спектральная диаграмма амплитуд; - спектральная диаграмма фаз.

В спектральной диаграмме амплитуд - отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами. В спектральной диаграмме фаз - отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами. Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.

Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий - составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз - начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.

Классификация спектров сигналов. 1. По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными . Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие. Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом. 2. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные . Ограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала (все спектральные составляющие) находятся в ограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). Неограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала находится в неограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). На практике такие спектры ограничивают.

Спектральное представление периодических сигналов

1. Гармоническое колебание. Математическая модель гармонического колебания имеет вид:

u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)

Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте?s. Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания Ums, а в спектре фаз - начальной фазе колебания?s. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме. Необходимо отметить, что при увеличении частоты сигнала, его составляющая будет удаляться по оси частот от нуля (рисунок 13).

Рисунок 13 - Спектральное представление гармонических колебаний

Как видно из рисунков, спектр гармонического колебания является дискретным и ограниченным. 2. Периодические, негармонические сигналы. Основной особенностью спектрального представления таких сигналов является наличие в их спектре множества спектральных составляющих. Такие сигналы могут быть описаны рядом Фурье, согласно которому:
т. е. сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и множества гармонических составляющих.

Преобразуем данный ряд, используя тригонометрическое свойство

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)

Полагая что x=?k и y=k?ct получим:

Поскольку Umk и?k являются параметрами ряда, то их можно обозначить коэффициентами

Umk sin ? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)

Тогда ряд примет вид:

Параметры ряда можно определить через коэффициенты ak и bk:

где k=1, 2, 3 …

Амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты могут быть определены через значение сигнала u(t):

Из ряда следует, что если описываемый сигнал является четной функцией f(t)=f(-t), то ряд будет иметь только косинусоидальные составляющие, так как bk=0, если нечетная функция (f(t) ? f(-t)), то рад содержит только синусоидальные составляющие (ak=0). Рассмотрим спектральное представление периодических, негармонических сигналов на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ). При построении спектра необходимо рассчитать следующие параметры: а) скважность сигнала:

б) значение постоянной составляющей:

в) частоту первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:

г) амплитуды гармонических составляющих спектра:

При построении спектра необходимо отметить следующие особенности: 1. Все гармонические составляющие находятся на частотах, кратных частоте первой гармоники (2?1, 3?1, 4?1 и т. д.); 2. Для спектра амплитуд: а) спектр ПППИ имеет лепестковый характер, т. е. в спектре можно выделить множество «лепестков»; б) количество гармонических составляющих в лепестке зависит от скважности и равно q - 1; в) амплитуды гармонических составляющих, находящихся на частотах, кратных скважности, равны нулю; г) форма спектра обозначается огибающей - пунктирной линией, плавно соединяющей вершины гармонических составляющих; д) точка, из которой исходит огибающая, равна 2U0 или 2I0. 3. Для спектра фаз: а) все гармонические составляющие, на частотах, не кратных скважности, имеют одинаковую высоту, равную?/2 (90°); б) все гармонические составляющие в одном лепестке имеют одинаковый знак, а в соседних противоположный. в) составляющие на частотах кратных скважности имеют начальную фазу равную нулю. Спектры ПППИ при скважности q=3 представлены на рисунке 14. Как видно из диаграмм спектр ПППИ является дискретным и неограниченным. Поэтому за ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два первых лепестка, т. к. в них содержится около 95% энергии сигнала:

Fs = 2/?и. (26)

Рисунок 14 - Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз

Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода. 3. Непериодические сигналы . Поскольку в непериодических сигналах нельзя выделить период, т. к. Т??, то рассчитать и построить спектр тем же методом, что и для периодических сигналов нельзя. Однако знать спектр таких сигналов необходимо, т. к. все информационные сигналы являются непериодическими. Для построения спектра непериодического сигнала производят следующую процедуру: сигнал мысленно представляют как периодический с произвольным периодом, ддля которого строят спектр. Затем осуществляют предельный переход устремляя период к бесконечности (Т??) (рисунок 15). При этом частота первой гармоники и, соответственно, расстояние между гармоническими составляющими стремится к нулю (f1=1/Т), поэтому все составляющие сливаются друг с другом и образуют сплошной спектр.

Рисунок 15 - Импульсный сигнал u(t) и его представление периодическим сигналом

Форма спектра непериодических сигналов обозначается огибающей (сплошной линией) (рисунок 16).

Рисунок 16 - Спектральная диаграмма непериодического сигнала

Ряд Фурье, для таких сигналов, также нельзя записать, т. к. в этом случае амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты ak и bk равны нулю. В этом случае значение сигнала в любой момент времени также равно нулю, что является не верным. Поэтому для таких сигналов используют преобразования Фурье:

Выражение (27) является обратным преобразованием, а (28) прямым преобразованием Фурье. Величина S(?) является комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала u(t). Она равна:

S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)

где S(?) спектральная плотность амплитуд или амплитудный спектр непериодического сигнала, а?(?) - фазовый спектр непериодического сигнала. Спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте? равна суммарной амплитуде составляющих находящихся в малой полосе?? в окрестностях частоты? пересчитанных на 1 Герц. Временные диаграммы и спектральные плотности амплитуд для прямоугольного и треугольного импульсов представлены на рисунке 18:

Рисунок 18 - Спектральное представление непериодических сигналов: а) прямоугольный импульс; б) треугольный импульс

) мы познакомились с понятием гармонической (синусоидальной ) функции. А бывают ли негармонические функции и сигналы и как с ними работать? В этом нам и предстоит сегодня разобраться 🙂

Гармонические и негармонические сигналы.

И для начала давайте чуть подробнее разберемся, как же классифицируются сигналы. В первую очередь нас интересуют гармонические сигналы, форма которых повторяется через определенный интервал времени , называемый периодом. Периодические сигналы в свою очередь делятся на два больших класса – гармонические и негармонические. Гармонический сигнал – это сигнал, который можно описать следующей функцией:

Здесь – амплитуда сигнала, – циклическая частота, а – начальная фаза. Вы спросите – а как же синус? Разве синусоидальный сигнал не является гармоническим? Конечно, является, дело в том, что , то есть сигналы отличаются начальной фазой, соответственно, синусоидальный сигнал не противоречит определению, которое мы дали для гармонических колебаний 🙂

Вторым подклассом периодических сигналов являются негармонические колебания . Вот пример негармонического сигнала:

Как видите, несмотря на “нестандартную” форму, сигнал остается периодическим, то есть его форма повторяется через интервал времени, равный периоду.

Для работы с такими сигналами и их исследования существует определенная методика, которая заключается в разложении сигнала в ряд Фурье . Суть методики состоит в том, что негармонический периодический сигнал (при выполнении определенных условий) можно представить в виде суммы гармонических колебаний с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами. Важным нюансом является то, что все гармонические колебания, которые участвуют в суммировании, должны иметь частоты, кратные частоте исходного негармонического сигнала. Возможно это пока не совсем понятно, так что давайте рассмотрим практический пример и разберемся чуть подробнее 🙂 Для примера используем сигнал, который изображен на рисунке чуть выше. Его можно представить следующим образом:

Давайте изобразим все эти сигналы на одном графике:

Функции , называют гармониками сигнала, а ту из них, период которой равен периоду негармонического сигнала, называют первой или основной гармоникой . В данном случае первой гармоникой является функция (ее частота равна частоте исследуемого негармонического сигнала, соответственно, равны и их периоды). А функция представляет из себя ни что иное как вторую гармонику сигнала (ее частота в два раза больше). В общем случае, негармонический сигнал раскладывается на бесконечное число гармоник:

В этой формуле – амплитуда, а – начальная фаза k-ой гармоники. Как мы уже упомянули чуть ранее, частоты всех гармоник кратны частоте первой гармоники, собственно, это мы и видим в этой формуле 🙂 – это нулевая гармоника, ее частота равна 0, она равна среднему значению функции за период. Почему среднему? Смотрите – среднее значения функции синуса за период равно 0, а значит при усреднении в этой формуле все слагаемые, кроме будут равны 0.

Совокупность всех гармонических составляющих негармонического сигнала называют спектром этого сигнала. Различают фазовый и амплитудный спектр сигнала:

• фазовый спектр сигнала – совокупность начальных фаз всех гармоник
• амплитудный спектр сигнала – амплитуды всех гармоник, из которых складывается негармонический сигнал

Давайте рассмотрим амплитудный спектр поподробнее. Для визуального изображения спектра используют диаграммы, представляющие из себя набор вертикальных линий определенной длины (длина зависит от амплитуды сигналов). На горизонтальной оси диаграммы откладываются частоты гармоник:

По горизонтальной оси могут откладываться как частоты в Гц, так и просто номера гармоник, как в данном случае. А по вертикальной оси – амплитуды гармоник, тут все понятно:). Давайте построим амплитудный спектр сигнала для негармонического колебания, которое мы рассматривали в качестве примера в самом начале статьи. Напоминаю, что его разложение в ряд Фурье выглядит следующим образом:

У нас есть две гармоники, амплитуды которых равны, соответственно, 2 и 1.5. Поэтому на диаграмме две линии, длины которых соответствуют амплитудам гармонических колебаний.

Фазовый спектр сигнала строится аналогично, за той лишь разницей, что используются начальные фазы гармоник, а не амплитуды.

Итак, с построением и анализом амплитудного спектра сигнала мы разобрались, давайте перейдем к следующей теме сегодняшней статьи – к понятию амплитудно-частотной характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ).

АЧХ является важнейшей характеристикой многих цепей и устройств – фильтров, усилителей звука и т. д. Даже простые наушники имеют свою собственную амплитудно-частотную характеристику. Что же она показывает?

АЧХ – это зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты входного сигнала.

Как мы выяснили в первой части статьи, негармонический периодический сигнал можно разложить в ряд Фурье. Но нас сейчас интересует, в первую очередь, аудио-сигнал, и выглядит он следующим образом:

Как видите, ни о какой периодичности здесь не идет речи 🙂 Но, к счастью, существуют специальные алгоритмы, которые позволяют представить звуковой сигнал в виде спектра входящих в него частот. Мы сейчас не будем подробно разбирать эти алгоритмы, это тема для отдельной статьи, просто примем тот факт, что они позволяют нам осуществить такое преобразование с аудио-сигналом 🙂

Соответственно, мы можем построить диаграмму амплитудного спектра звукового сигнала. А пройдя через какую-либо цепь (к примеру, через наушники при воспроизведении звука) сигнал будет изменен. Так вот амплитудно-частотная характеристика как раз и показывает, какие изменения будет претерпевать входной сигнал при прохождении через ту или иную цепь. Давайте обсудим этот момент чуть поподробнее…

Итак, на входе мы имеем ряд гармоник. Амплитудная-частотная характеристика показывает, как изменится амплитуда той или иной гармоники при прохождении через цепь. Рассмотрим пример АЧХ:

Разберемся поэтапно, что же тут изображено… Начнем с осей графика АЧХ. По оси y мы откладываем величину выходного напряжения (или коэффициента усиления, как на данном рисунке). Коэффициент усиления мы откладываем в дБ, соответственно величина, равная 0 дБ, соответствует усилению в 1 раз, то есть амплитуда сигнала остается неизменной. По оси x откладываются частоты входного сигнала. Таким образом, в рассматриваемом случае для всех гармоник, частоты которых лежат в интервале от 100 до 10000 Гц, амплитуда не изменится. А сигналы всех остальных гармоник будут ослаблены.

На графике отдельно отмечены частоты и – их отличительной особенностью является то, что сигнал гармоник данных частот будет ослаблен в 1.41 раза (3 дБ) по напряжению, что соответствует уменьшению в 2 раза по мощности. Полосу частот между и называют полосой пропускания. Получается следующая ситуация – сигналы всех гармоник, частоты которых лежат в пределах полосы пропускания устройства/цепи будут ослаблены менее, чем в 2 раза по мощности.

Частотный диапазон аудиоустройств обычно разбивают на низкие, средние и высокие частоты. Приблизительно это выглядит так:

• 20 Гц – 160 Гц – область низких частот
• 160 Гц – 1.28 КГц – область средних частот
• 1.28 КГц – 20.5 КГц – область высоких частот

Именно такую терминологию обычно можно встретить в разных программах-эквалайзерах, используемых для настройки звука. Теперь вы знаете, что красивые графики из таких программ являются именно амплитудно-частотными характеристиками, с которыми мы познакомились в сегодняшней статье 🙂

В завершении статьи посмотрим на пару АЧХ, полученных в программном эквалайзере:

Здесь мы можем видеть амплитудно-частотную характеристику усилителя. Причем усилены будут преимущественно средние частоты диапазона.

А здесь ситуация совсем другая – низкие и верхние частоты усиливаются, а в области средних частот для гармоник с частотой 500 Гц мы наблюдаем значительное ослабление.

А здесь усиливаются только низкие частоты. Аудиоаппаратура с такой АЧХ будет обладать высоким уровнем басов 🙂

На этом мы заканчиваем нашу сегодняшнюю статью, спасибо за внимание и ждем вас на нашем сайте снова!

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

В радиотехнике (связь, навигация, телевидение, радиолокация) при передаче информации широко используются сигналы сложной формы. Для анализа прохождения таких сигналов через цепь действуют таким способом: представляют сложный сигнал в виде суммы гармоничных колебаний и известным методом (например метод комплексных амплитуд) анализируют прохождение через цепь каждой гармоники. В соответствии с принципом суперпозиции форма исходного сигнала определяется как сумма исходных гармоник.

Представление сложного сигнала в виде гармонических колебаний поясняется тем, что гармонический сигнал является единственным сигналом, который при прохождении через цепь не изменяет своей формы. Изменяется только его амплитуда и начальная фаза, что существенно упрощает анализ прохождения сложных сигналов.

Спектром сигнала называется совокупность гармонических колебаний, из которых состоит сам сигнал.

Если говорить более строго, то существует два основных типа спектров: амплитудночастотный (амплитудный) и фазочастотный (фазовый) спектр.

Амплитудным спектром называется распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте.

Фазовым спектром называется распределение начальных фаз гармонических составляющих по частоте.

Изображение амплитудного и фазового спектра

Амплитудний спектр

Амплитудный спектр всегда положителен. Фазовый спектр может быть как положительным, так и отрицательным.

Спектр периодических сигналов

Для спектрального представления периодических колебаний используется разложение этих колебаний в тригонометрический ряд Фурье:

- период периодического сигнала.

Спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов

Согласно рисунку функция
является чётной. Тогда в тригонометрической форме записи ряда остаются только косинусоидальные члены, потому что коэффициенты равняются нулю.

Определим величину постоянной составляющей и амплитуды гармоник

- скважность. Таким образом

Амплитудный спектр

П
оскольку основная часть энергии импульса сосредоточена в области главного лепестка, то за ширину спектра принимается ширина главного лепестка

Теоретически спектр простирается до бесконечности.

Фазовый спектр

Спектр непериодического сигнала

Рассмотрим непериодический сигнал
, заданный в виде некоторой функции, отличающейся от нуля в промежутке
. Дополним сигнал до периодического как показан на рисунке.

Выделим произвольный отрезок времени T , что включает у себя промежуток , та представим заданий сигнал в виде комплексного ряда Фурье

,

где
Коэффициенты определяются выражением

Чтобы перейти к одиночному импульсу, нужно перейти к пределу при
.

Если , тогда

В итоге получим

Прямое преобразование

Еличина

называется спектральной плотностью .

Физически спектральная плотность характеризует суммарную амплитуду колебаний единичной области частот спектра сигнала, а величина
характеризует суммарную амплитуду колебаний области частот
.

Спектр непериодического сигнала является сплошным.

Зная спектральную плотность, можно найти форму сигнала

Обратное преобразование Фурье

Аким образом

Свойства спектральной плотности

Между сигналом и его спектром
существует однозначное соответствие, которое выражается рядом свойств.

1. Модуль спектральной плотности является чётной функцией частоты, а аргумент - нечётной:

2. Соотношение между спектрами периодического и непериодического сигналов.

Пусть имеем сигнал и соответствующую ему спектральную плотность
. При следовании импульсов с периодом интервал между соседними гармониками составляет . Амплитуда -ой гармоники соответственно равна

Спектральная плотность непериодического сигнала

Отсюда находим

Вывод. Модуль спектральной плотности непериодического сигнала (одиночного импульса) и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала (последовательности импульсов) совпадают по форме и отличаются только масштабом.

3. Свойство линейности. Исходя из того, что преобразование Фурье является линейным, при сложении сигналов
и которые имеют спектры
и
, суммарный сигнал
будет иметь спектр
.

4. Сдвиг сигналов по времени (теорема запаздывания). Сигнал
произвольной формы имеет спектральную плотность
.

При задержке этого сигнала на время t 0 (при сохранении его формы) получим новую функцию
. Определим спектральную плотность сигнала

Введем новую переменную
. Тогда получим

Таким образом, сдвиг по времени функции на приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину
. Модуль спектральной плотности от положения сигнала на временной оси не зависит.

5. Изменение масштаба времени (теорема масштабов) . Сигнал
длительностью  и поддается сжатию по времени. Новый сжатый сигнал

Длительность сигнала
в раз меньше чем и равняется
. Определим спектральную плотность сжатого сигнала

Введем новую переменную
тогда

.

При временном сжатии сигнала в раз во столько же раз расширяется его спектр.

6
. Сдвиг спектра сигнала (теорема смещения) . Запишем спектральную плотность для произведения сигналов
и
.
.

Таким образом

В
ывод. Умножение функции на колебание
эквивалентно разделению спектра
на две части, которые смещены соответственно на
и
.

Данная теорема позволяет по спектру видеосигнала найти спектр радиосигнала (то есть сигнала с высокочастотным заполнением).

Из рисунка следует, что при значительной частоте заполнения радиоимпульса  0 можно в области положительных частот (отрицательных не существует) пренебречь слагаемым (1/2)( + 0) и определить спектральную плотность по приближённой формуле

7. Распределение энергии в спектре непериодического колебания

Энергия импульса при его прохождении через сопротивление равняется

Равенство Парсеваля

Вывод : квадрат модуля спектральной плотности имеет смысл энергетической плотности, то есть энергии, которая приходится на единицу полосы частот [Дж/Гц].

8. Свёртка сигналов. Пусть сигналам отвечает спектральная плотность
. То есть . Тогда произведению двух спектров
будет отвечать свёртка сигналов :

Спектральные плотности типовых импульсов

1. Экспоненциальный импульс:

Импульс такой формы возникает при грозових разрядах, в системах зажигания автомобилей. Везде, где есть трущиеся контакты.

2. Ступенчатая функция (функция Хевисайда):

Спектр находим из спектра экспоненциального импульса при
:

3. Прямоугольный видеоимпульс:

Воспользуемся формулой

Большая часть энергии импульса сосредоточена в области главного лепестка (более 90%). Потому за ширину спектра принимается ширина главного лепестка в положительной области частот:

4. Спектр единичного импульса (спектр функции Дирака)

Функция Дирака

Функция Дирака представляет собой предел последовательности прямоугольных видеоимпульсов, при условии что площадь
а длительность
.

Физически функция Дирака представляет собой импульс конечной энергии с очень малой длительностью и очень большой амплитудой. С помощью данного импульса описываются кратковременные сильные влияния (удары).

Таким образом

Вывод: спектр единичного импульса является постоянным и простирается до бесконечности.

5. Спектр импульса колокольной формы:

Особенность данного импульса заключается в том, что его форма совпадает с формой спектра.

6. Спектр прямоугольного радиоимпульса:

Для определения спектра воспользуемся

теоремой смещения

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса

Следовательно

7. Спектр периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов

Для нахождения спектра воспользуемся связью между спектрами одиночного радиоимпульса и периодической последовательности

Некоторые импульсы, используемые в системах специальной связи

8. Спектр треугольного импульса

9. Спектр трапецеидального импульса

Спектральная плотность сигнала

Поскольку трапецеидальный импульс является результатом интегрирования импульса , то его спектральная плотность равна

Отсюда находим модуль спектральной плотности

При
спектральная плотность равна площади трапеции

.

Качественный вид спектральной плотности на положительных частотах:

Количество боковых лепестков определяется соотношением между и
. Чем меньше , то есть чем круче фронты типульса, тем больше количество боковых лепестков в области от 0 до . В пределе, когда крутизна фронтов стремится к бесконечности
спектр трапеции переходит в спектр прямоугольного импульса.

1
0. Спектр косинус-квадратного импульса

Для определения спектральной плотности воспользуемся преобразованием Лапласа. Для этого введём две функции:
и
.

Пусть
. Тогда в соответствии с теоремой запаздывания

Поскольку косинус-квадратный импульс равен

, то его спектральная плотность

Воспользовавшись формулой

,

Данному оригиналу соответствует изображение по Лапласу

Полагая
, находим комплексную спектральную плотность

Учитывая, что

Окончательно находим

Модуль спектральной плотности

Это следует из прямого преобразования Фурье.

Качественный вид спектральной плотности будет таким же как и у прямоугольного видеоимпульса. Только уровень боковых лепестков будет существенно ниже.

1
1. Спектр косинусоидального импульса

Определение ширины спектра и длительности импульсов

Поскольку сигнал имеет оганиченную длительность, то теоретически его спектр всегда бесконечен. Поэтому на практике ширину спектра сигнала определяют исходя из области частот, в которой сконцентрирована большая части энергии импульса (90%, 95%, 99%).

В общем случае ширина спектра и длительность импульса определяются из равенства Парсеваля

Ширина спектра
и длительность импульса (предполагается, что импульс начинается с нулевого момента времени) находятся из условий

Величина

Ширина спектра
и скорость убывания боковых лепестков
различных импульсов

В этом разделе мы рассмотрим описание двумерных временных рядов в частотной области. Будет показано, что обсуждавшаяся в предыдущем разделе выборочная взаимная ковариационная функция имеет преобразование Фурье, называемое выборочным взаимным спектром. Этот спектр является комплексно-значной функцией, которую можно записать в виде произведения действительной функции, называемой выборочным взаимным амплитудным спектром, и комплексно-значной функции, называемой выборочным фазовым спектром. Аналогично преобразование Фурье теоретической взаимной ковариационной функции называется взаимным спектром. Его можно представить в виде произведения взаимного амплитудного и фазового спектров. Взаимный амплитудный спектр показывает, как велики амплитуды связанных частотных комнонент в двух рядах на определенной частоте. Аналогично фазовый спектр показывает, насколько запаздывает или опережает по фазе такая компонента в одном из рядов соответствующую компоненту в другом ряде для данной частоты. В следующем разделе приводятся примеры взаимных амплитудных и фазовых спектров, - полученные из взаимного спектра двумерного линейного процесса (8.1.14). Затем вводится несколько более полезное понятие, чем взаимный амплитудный спектр, а именно спектр когерентности. Мы покажем, что спектр когерентности и фазовый спектр дают полное описание двумерного нормального случайного процесса.

8.3.1. Применение анализа Фурье к двумерным временным рядам

Анализ Фурье можно применить к двумерным временным рядам точно так же, как и к одномерным. Предположим, например, что - две косинусоидальные волны одинаковой частоты но с разными амплитудами и фазами т. е.

Если длина имеющихся записей равна Т, то с помощью (2.2.11) получаем преобразование Фурье

Отсюда выборочные спектры (6.1.6) этих двух сигналов равны

Эти выражения при стремятся к

Таким образом, дисперсия, или средняя мощность косинусоидальной волны, равная распределена в виде -функций на частотах

Предположим теперь, что требуется описать ковариацию двух косинусоидальных волн. В таком случае естественно воспользоваться выборочным взаимным спектром мощности, или, короче, выборочным взаимным спектром

где звездочка обозначает комплексное сопряжение. Подставив (8.3.2) в (8.3.3), мы находим, что выборочный взаимный спектр двух косинусоидальных волн равен

что при стремится к

Определение (8.3.3) является естественным, так как оно содержит всю информацию о зависимости двух сигналов. В частном случае косинусоидальных волн равенство (8.3.5) показывает, что эта информация состоит из разности фаз показывающей, насколько одна из косинусоидальных волн опережает другую, и взаимной амплитуды показывающей, как велики на данной частоте соответствующие амплитуды в двух сигналах.

Выборочный фазовый и выборочный взаимный амплитудный спектры. В более общем случае предположим, что произвольные действительные сигналы с преобразованиями Фурье соответственно. Эти преобразования дают амплитудное и фазовое распределение сигналов, т. е.

где -неотрицательная четная функция и -нечетная функция. Согласно (8.3.3), выборочный взаимный спектр в этом случае будет равен

что можно записать также в виде

Следовательно, ковариацию двух рядов можно описать с помощью выборочного фазового спектра

и выборочного взаимного амплитудного спектра

Выборочный фазовый спектр показывает, запаздывает или опережает частотная компонента одного ряда компоненту другого ряда на той же частоте. Аналогично, выборочный взаимный амплитудный спектр показывает, насколько велики в двух рядах амплитуды соответствующих компонент на некоторой частоте. Заметим, что -неотрицательная четная функция, а - нечетная функция частоты.

Выборочный коспектр и квадратурный спектр. Так как функция из (8.3.8) является комплексно-значной, ее можно записать в виде произведения амплитудной и фазовой функций, как в (8.3.7). Выражение (8.3.8) можно записать и в другом виде, выделив вещественную и мнимую части:

Отметим, что - четная, - нечетная функция частоты из-за того, что - четная, - нечетная функция. Для иллюстрации рассмотрим приводившийся выше пример с двумерной косинусоидальной волной.